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Algebra - Lo Básico

Por el Profe Mobius ©

Algunas personas se ponen nerviosas cuando se habla de álgebra, pero la verdad es que es muy parecida a la aritmética, en donde aprendemos las operaciones de suma, resta, multiplicación y división. La diferencia es que en álgebra utilizamos letras para indicar valores (números) que no conocemos.

Tomemos por ejemplo la operación
1 más 2 es igual a 3.
En aritmética la escribimos: 1 + 2 = 3
En este caso las cantidades 1 y 2 se suman una a la otra sin importar su orden:
1 + 2 = 3   que es lo mismo que   2 + 1 = 3

Cuando se trata de una resta escribimos:  3 – 2 = 1
La cantidad mayor aparece primero porque es a la que se resta la cantidad señalada con el signo “–“.

La Ecuación
Los ejemplos que hemos visto forman lo que en algebra se conoce como ecuaciones. Expresan cantidades relacionadas entre sí por medio de operaciones de aritmética y el signo de igualdad. Es importante notar que los dos lados de la ecuación deben ser iguales. En la ecuación  1 + 2 = 3   los dos lados son iguales, es decir 3 = 3 
En una ecuación podemos pasar cualquier cantidad de uno al otro del signo =, pero debemos cambiar su signo. Vamos a ver que sucede con la ecuación si movemos las cantidades.

1 + 2 = 3
Si pasamos el 2 a la derecha tenemos que hacerlo con signo de menos (resta):
1 = 3 – 2  quedando 1 = 1 

1 + 2 = 3
Si pasamos el 1 a la derecha lo hacemos con signo de menos, entonces:
2 = 3 – 1 quedando 2 = 2 

1 + 2 = 3
Si pasamos la cantidad 3 al lado izquierdo de la ecuación pasa con signo menos:
1 + 2 – 3 =  0 
3 - 3 = 0 quedando 0 = 0

Es importante notar que en todos los casos los lados de la ecuación son iguales y que obtenemos diferentes resultados según movamos las cantidades de uno a otro lado.

La Incógnita
La  ecuación 1 + 2 = 3 se escribe en álgebra como sigue:
1 + 2 = x  en donde “x” es el valor que queremos encontrar, y como no lo conocemos, decimos que “x” es una incógnita.
Para encontrar el valor de x decimos que resolvemos la ecuación x = 3
Sustituimos el valor de x y tenemos 1 + 2 = 3 como ya hemos visto.

Ahora hagamos la siguiente ecuación: 1 + x = 3
Ya vimos que podemos pasar el 1 al lado derecho de la ecuación cambiándole su signo:
x = 3 – 1  cuyo resultado es x = 2
Como vemos, las operaciones en aritmética y álgebra son las mismas. 

Las Variables
Ahora vamos a ver operaciones en las que tenemos dos incógnitas que también podemos llamar “variables” pues irán cambiando dependiendo del valor de la otra. En álgebra se usan letras minúsculas para las variables. Veamos el siguiente ejemplo:

a – 4 = b – 2

Si queremos calcular el valor de “a” entonces todas las otras cantidades deben quedar en el lado opuesto de la igualdad:
a = b – 2 + 4
a = b + 2 que es nuestra ecuación “simplificada” es decir más simple para resolverla.

Como podemos ver, el resultado de la variable “a” depende de la cantidad que le demos a la variable “b”. En álgebra, la variable que no conocemos siempre se pone del lado izquierdo de la ecuación. Más adelante veremos que lo más común es usar la letra “x” como variable. Ahora podemos darle valores a la variable “b” para obtenre los valores de la incógnita “a”:

Para b = 1  
a = b + 2  sustituimos el valor de b = 1
a = 1 + 2
a = 3

Para b = 2
a = b + 2  sustituimos el valor de b = 2
a = b + 2
a = 2 + 2
a = 4

Como podemos ver, el valor de la incógnita “a” depende del valor que le demos a la variable "b
".

Operaciones Comunes
En álgebra, efectivamente, podemos hacer operciones aritméticas con letras. Veamos el caso más sencillo:
a + a = 2 a que es lo mismo que 2 a = a + a

2a debe entenderse como 2 por "a"

Si hacemos a = 5 y sustituimos este valor en la ecuación, tenemos:
2 x 5 = 5 + 5   que resulta 10 = 10

En la misma ecuación 2 a = a + a  pasamos la a al lado izquierdo de la ecuación y tendremos que 
2 a - a = a

Sustituimos a = 5 
2 x 5 - 5 = 5
10 - 5 =5   que resulta 5 = 5

Ejemplo 1
Supongamos que un dólar es igual a 15 pesos y queremos tener una ecuación que nos permita cambiar pesos por dólares y también dólares por pesos.
Lo primero que debemos hacer es definir los elementos de la ecuación:
“d” es la cantidad de dólares que queremos cambiar a pesos
“p” es la cantidad de pesos vamos a obtener en la operación
15 es el tipo de cambio 
Entonces si queremos cambiar 4 dólares a pesos:
p = 15 x d = 15 x 4 = 60 pesos

Multiplicación
En álgebra la multiplicación no se señala con una “x” porque se puede confundir con la “ncógnita "x”. Hay dos maneras de señalar una multiplicación:
p = 15 • d       se puede utilizar un punto
p= 15 d            esta es la manera normal, sin signo 

En álgebra, una cantidad que multiplica pasa al otro lado dividiendo, y si está dividiendo pasa multiplicando.
Fíjate como la variable "b" multiplica en un lado y divide en el otro:           

a b = c       a = c         c = a b     
                        b
Si queremos saber cuántos dólares son 60 pesos:            
Partimos de la ecuación anterior p = 15 d
La constante 15 que multiplica a la variable “d” pasa al otro lado de la ecuación dividiendo a la variable “p”.

Agrupación de Factores
En la multiplicación podemos agrupar letras usando paréntesis. Veamos este ejemplo:
2a + 5a = 7a se puede escribir o simplificar así: a (2 +5) = 7a 
Esto simplifica las operaciones como veremos más adelante.

División
En álgebra la división se escribe como una fracción:
d =  p
      15

Sustituimos el valor de “p” que son los 60 pesos que queremos convertir a dólares:
d = 60 = 4
      15

Ejemplo 2
Vamos suponer que a Rosita y a sus 3 hermanos les gusta desayunar avena con leche. Sin embargo no todos desayunan avena todos los días. Las instrucciones de la caja de avena dicen que para 1 porción (para 1 persona) debemos usar:
Avena: 1 taza
Leche: 2 tazas

Las primera variable que tenemos que considerar es el número de personas que quieren avena cualquier día de la semana. Esta variable puede ser de 1 a 4 personas (Rosita y sus 3 hermanos). Llamemos “p” a esta variable. Hay otras dos variable  que son las tazas de leche que llamaremos “m” y las tazas de avena “a”. Podemos ver que la cantidad de tazas de leche es la cantidad de personas multiplicada por 2 y la cantidad de tazas de avena es igual a la cantidad de personas. Entonces
m = p 2  = 2p 

a = p 1 = 1p = p

Cuando tengamos en número 1 como multiplicador no lo escribimos. En este caso, la cantidad de avena es igual al número de personas.
Podemos calcular las cantidades de ingredientes para cualquier número de personas que quieran avena:

“p”

m = 2p tazas

a = p tazas

Personas

Leche

Avena

1

2

1

2

4

2

3

6

3

4

8

4

Este ejemplo es muy sencillo, pero si pensamos en una fiesta en le que pudiéramos tener entre 50 y 75 invitados y que se les va a dar una sopa que por persona requiere 1/3 de taza de caldo de pollo, 1/ 4 de kilo de carne de res y 1/8 cucharada de orégano, entonces estas tablas son de gran ayuda pues tendríamos a la mano la cantidad de ingredientes para cualquier cantidad de invitados. Podríamos también saber el costo exacto de la sopa.

Ejemplo 3
La distancia entre Houston y San Antonio es de 180 millas. Si la velocidad máxima autorizada es de 60 millas por hora. ¿Cuánto tiempo nos tomará hacer el viaje?
Sabemos que la velocidad se indica millas por hora, es decir, la distancia recorrida en una hora.
Vamos a definir las variables:

v = velocidad en millas/hora
d = distancia por recorrer en millas
t = tiempo en horas que tardamos en recorrer esa distancia

Entonces v =  d                       
                       t                                                                                                           

 Para calcular el tiempo tenemos que pasar la variable “t” al lado izquierdo de la ecuación como multiplicación y la “v” al lado derecho como división:

  d = vt    por lo que     t = d                                     
                                         v
Si vamos a 60 millas por hora, tardaremos 180 millas / 60 mph = 3 horas
Si subimos la velocidad a 90 mph tardaremos 180 millas / 90 mph = 2 horas
De la misma manera, si el viaje de 180 millas nos tomó 2.5 horas, nuestra velocidad promedio fue: 180 millas entre 2.5 horas = 72 mph

Números Negativos
Para entender los números negativos el mejor ejemplo es la medición de la temperatura. En el sistema Celsius el punto de congelamiento del agua es el cero  0°C y el punto de ebullición del agua es 100°C. En el refrigerador de tu casa el congelador está a -18°C (se hace hielo) mientras que el refri está a 2°C (el agua no se congela).
En álgebra se utilizan estos números negativos en los resultados de las ecuaciones. Tomemos la ecuación   x = 5 – y    que equivale a    x + y = 5 

Para  y = 2                       x = 3                                        3 + 2 = 5           

Para  y = 5                       x = 0                                        0 + 5 = 5

Para  y = 7                       x = – 2                                  –2 + 7 = 5

Podemos tener la suma de números negativos, por ejemplo: –5 – 10 = – 15

La multiplicación de números negativos sigue ciertas reglas:

+  por +     da   +                 ( 3) x ( 2) = 6
  por     da   +                 (-3) x (-2) = 6
+  por     da                    ( 3) x (-2) = - 6
–  por +     da                    (-3) x ( 2) = - 6                             

Un Ejemplo Divertido
Quiero depositar una cantidad “x” de dinero en un banco que funciona de esta manera:
• Al entrar al banco tengo que pagar $1
• Ya adentro, mi dinero se duplica, es decir, se multiplica por 2
• Para poder sacarlo del banco tengo que pagar $3
La pregunta es: ¿cuánto dinero “x” debo llevar al banco para que se duplique y cuando lo saque y haya pagado los $3 me quede si un centavo, esto es, x=0?

Paso 1
La incógnita ”x” son los dólares que debemos tener al inicio.

Paso 2
Al entrar al banco la cantidad “x” se reduce en $1 o sea, tenemos (x-1)

Paso 3
Cuando (x-1) entra al banco se duplica = 2 (x - 1)
En esta  operación el 2 multiplica a las dos cantidades dentro del paréntesis:
2 (x-1) = 2x - 2

Paso 4
Al salir del banco a la cantidad 2x – 2 le quitas $3 y te debes quedar con $0
La ecuación de álgebra queda así: 2x – 2 – 3 = 0
Resolvemos la ecuación como sigue:

2 x = 2 + 3
2 x = 5
x = 5  
      2
x = $2.5

Comprobación  
Antes de entrar      2.5
Pago a la entrada  2.5 - 1 = 1.5
Dentro del banco                  1.5 x 2 = 3
Al salir del banco                                 3 - 3 = 0

      

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